在 TT 坐标系里，自由测试粒子的坐标位置看似静止不动，但粒子间的实际距离却随引力波起伏。形变矢量坐标分量的普通二阶导数，与整个矢量的协变加速度究竟有何区别？如何把随度规扰动变化的形变矢量，重新投影到固定的闵氏背景标架下，从而得到可测量的相对位移？不同标架下形变矢量分量的变化该如何理解？引力波的两种偏振模式分别会让测试粒子发生怎样的形变？7月26日12时，《张朝阳的物理课》第二百九十一期准时开播。搜狐创始人、董事局主席兼CEO、物理学博士张朝阳坐镇搜狐视频直播间，针对上述问题展开深入讲解。本期课程先简要回顾了弱场近似下的引力波波动方程、平面波解及 TT 规范，指出引力波拥有两个独立的偏振模式；接着重点剖析相邻自由测试粒子间的形变矢量，阐明在 TT 坐标系中粒子坐标分离虽保持不变，但形变矢量的协变加速度并不为零；随后，将形变矢量从随引力波变化的动态标架转换至固定的闵氏背景标架，引出能描述实际测量结果的位移分量；最后，分别求解了两种偏振作用下测试粒子的位移变化，揭示引力波如何在横向平面内交替拉伸与压缩粒子，为理解激光干涉仪中的差分臂长和光学相位响应奠定了几何基础。
（张朝阳介绍可测的形变矢量分量）
**平面引力波的回顾**
上一节课我们推导了引力波的波动方程，引入了平面波解，并讨论了横向无迹规范，即 TT 规范。下面对这些结论做个简要回顾。这里采用自然单位制。
在弱场近似下，时空度规可以拆分为闵氏背景度规加上微小扰动：
定义迹反转扰动后，真空中的爱因斯坦场方程在保留到一阶时可写为：
这就是线性化引力波满足的波动方程。在真空中，结合里奇平坦条件与洛伦茨规范条件：
可以直接得出度规扰动也满足：
四维坐标记为：
引力波的平面波解形式如下：
其中是四维矢量，是四维坐标。
假设引力波沿轴正方向传播，则波矢的协变分量为：
对应的逆变分量为：
因此，度规扰动可以写成：
在 TT 规范下，平面引力波的振幅张量的型分量具有特定形式：
由此可见，引力波最终只包含两个独立的偏振模式，分别由和描述。前者对应“+”偏振，后者对应“×”偏振。
（张朝阳回顾平面引力波）
**回顾形变矢量的协变加速度**
考察空间中两个相邻的自由测试粒子。它们之间的分离矢量，也就是形变矢量，可以表示为：
分别考虑这两个粒子遵循的测地线方程。在弱场、低速近似以及 TT 规范下，有：
因此，两个粒子间的坐标分离满足：
这意味着，在 TT 坐标系中，两个自由测试粒子的坐标位置可以保持不变。但是，形变矢量（分离矢量）不仅由分量决定，还依赖于坐标基矢。当引力波经过时，坐标基矢本身也会随时间演变。
度规与坐标基矢之间满足：
对于沿轴传播的平面引力波，中的、、、分量可能非零，且随时间变化。因此，横向坐标基矢和也会随时间改变，不再是固定不变的矢量。所以在研究形变矢量的变化时，不能仅计算其分量的普通导数，还必须同时考虑坐标基矢的变化。换句话说，我们需要关注整个矢量的协变变化，而非仅仅是坐标分量的变动。
定义形变矢量的协变速度为：
协变加速度为：
它们的分量分别为：
以及：
在低速近似下，粒子的四速度主要沿时间方向，因此：
于是，协变速度的逆变分量可以写成：
协变加速度的逆变分量则为：
由于这里研究的是整个形变矢量的变化，因此可与普通的矢量微积分中的导数一样处理。
上一节课最后已经得到，这一协变加速度的分量可以具体写成：
其中指的是：
由此可以看出，整个矢量的协变加速度分量，并不等于形变矢量坐标分量的普通二阶导数。后者等于零，只说明在 TT 坐标系中，两个测试粒子的坐标分离保持不变；前者则包含了坐标基矢随时空扰动发生的变化，因此能够描述引力波引起的真实几何形变。
（张朝阳回顾协变加速度）
**引力波的测量及其物理含义**
为了将引力波引起的形变转化为实验上可直接理解的形式，可以使用引力波到来之前的背景标架来描述加速度：
其中，表示没有引力波经过时的背景标架，是在该标架中的分量。为了与引力波到来后发生变化的标架区分，我们在其右上角加上标记。
在闵氏时空背景下的固定标架下，引入分量，使其满足：
这里的表示形变矢量在未扰动背景标架中的分量，因此可以直接用来描述测试粒子之间可测量的相对位移。它实际上是局域正交标架中测得的形变矢量（分离矢量）的分量。需要注意的是，与原坐标基矢下的分量一般并不相等：
但是，它们表示的是同一个几何矢量，因此有：
由于是闵氏时空背景标架，不会随着时间变化，在笛卡尔坐标系中，导数为零：
通过：
就得到了前面的：
在这里我们相当于做了一个标架变换，从变成了。它们之间的标架变换可以从度规分量的定义：
到的一阶得到：
在低速情况下，坐标时间与固有时间近似相等，即：
因此：
于是形变分量满足：
由于，而本身已经是一阶小量，因此在只保留到扰动一阶时，右端的可以用未扰动分量代替：
（张朝阳介绍可测量的形变矢量分量）
考虑一个沿轴传播的平面引力波。在 TT 规范下，度规扰动为：
其中：
代入加速度方程，得到：
其中：
由于只有非零，且，因此对横向空间指标，有：
下面分别讨论两种独立偏振模式。
（1）首先考虑，则有：
若的初始速度为零，则根据，可知是常数。因此，若两个粒子的初始坐标相对速度为零，上式的解为：
同理：
其解为：
因此，所描述的“+”偏振，会在一个横向方向上拉伸测试粒子之间的距离，同时在与之垂直的方向上压缩这一距离；经过半个周期后，拉伸与压缩的方向互换。这种交替形变可以用测试粒子组成的圆环随时间变为椭圆来表示。
（张朝阳求解模式的引力波效应）
（2）考虑，加速度方程给出：
相应的解为：
这一偏振模式同样表现为横向平面内的交替拉伸与压缩，但其主轴相对于“+”偏振旋转了45度。因此，“×”描述的是引力波的“×”偏振模式。
以上使用复指数表示平面波，是为了简化计算。实际可以观测到的度规扰动和位移，应取这些复数表达式的实部。
（张朝阳介绍模式的引力波效应以及引力波两种模式的效果示意图）
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